가우스 기호를 포함한 등식 판정

$x = n + \alpha , y = m + \beta$(단, $0 \leq \alpha < 1 , 0 \leq \beta < 1$)라고 하면 Ⅰ. $[ 3 x ] = [ 3 n + 3 \alpha ]$$= 3 n + [ 3 \alpha ] ( 0 \leq 3 \alpha < 3 )$이므로 $\displaystyle \left[ \frac{[ 3 x ]}{3} \right] = \left[ n + \frac{3 \alpha}{3} \right] = n$, $[ x ] = n$ (참) Ⅱ. $[ x ] = n$, $[ x + 2 y ] = [ n + 2 m + \alpha + 2 \beta ] = n + 2 m + [ \alpha + 2 \beta ]$ $\therefore [ x ] + [ x + 2 y ] = 2 n + 2 m + [ \alpha + 2 \beta ]$ $[ 2 x + 2 y ] = [ 2 n + 2 m + 2 \alpha + 2 \beta ] = 2 n + 2 m + [ 2 \alpha + 2 \beta ]$ 따라서, $\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha < 1$인 경우에 성립하지 않는다. (거짓) Ⅲ. $\displaystyle [ x ] + \left[ x + \frac{1}{3} \right] + \left[ x + \frac{2}{3} \right] = [ 3 x ]$ $\displaystyle i ) 0 \leq \alpha < \frac{1}{3}$인 경우, 좌변=$3 n$, 우변=$3 n$ (성립) $\displaystyle ii ) \frac{1}{3} \leq \alpha < \frac{2}{3}$인 경우, 좌변=$3 n + 1$, 우변=$3 n + 1$ (성립) $\displaystyle iii ) \frac{2}{3} \leq \alpha < 1$인 경우, 좌변= $3 n + 2$, 우변=$3 n + 2$ (성립) (참)