공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가우스 기호 수 배열

문제

아래 그림과 같이 자연수 nn에 대하여 nn개의 항 [n1]\displaystyle \left[ \frac{n}{1} \right], [n2]\displaystyle \left[ \frac{n}{2} \right], [n3]\displaystyle \left[ \frac{n}{3} \right], ⋯\cdots , [nn]\displaystyle \left[ \frac{n}{n} \right] 이 nn행에 11열부터 nn열까지 차례로 나열되어 있다. (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

11열22열33열44열55열⋯nn열⋯\cdots
11행11
22행2211
33행331111
44행44221111
55행5522111111
⋮⋮
nn행[n1]\displaystyle \left[ \frac{n}{1} \right][n2]\displaystyle \left[ \frac{n}{2} \right][n3]\displaystyle \left[ \frac{n}{3} \right]⋯\cdots[nn]\displaystyle \left[ \frac{n}{n} \right]
⋮⋮

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

[ 보 기 ]
ㄱ. nn행에서 그 값이 11인 항은 [n+12]\displaystyle \left[ \frac{n + 1}{2} \right]개이다. ㄴ. 100100행에서 그 값이 33인 항은 88개이다. ㄷ. 33열에서 그 값이 55인 항은 55개이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. [nk]=1\displaystyle \left[ \frac{n}{k} \right] = 1에서 1≤nk<2\displaystyle 1 \leq \frac{n}{k} < 2 따라서 n2<k≤n⋯⋯㉠\displaystyle \frac{n}{2} < k \leq n \cdots \cdots \text{㉠} nn이 짝수일 때, ㉠을 만족하는 정수 kk의 개수는 n−n2=n2\displaystyle n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2} nn이 홀수일 때, ㉠을 만족하는 정수 kk의 개수는 n−n+12+1=n+12\displaystyle n - \frac{n + 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2} 따라서 ㉠을 만족하는 정수 kk의 개수는 [n+12]\displaystyle \left[ \frac{n + 1}{2} \right]이다. (참) ㄴ. [100k]=3\displaystyle \left[ \frac{100}{k} \right] = 3에서 3≤100k<4\displaystyle 3 \leq \frac{100}{k} < 4, 1004<k≤1003\displaystyle \frac{100}{4} < k \leq \frac{100}{3} 따라서 정수 kk는 26,27,28,29,30,31,32,3326 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33의 88개이다. (참) ㄷ. [n3]=5\displaystyle \left[ \frac{n}{3} \right] = 5에서 5≤n3<6\displaystyle 5 \leq \frac{n}{3} < 6, 15≤n<1815 \leq n < 18 따라서 정수 nn은 15,16,1715 , 16 , 17의 33개이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

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