미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호 합의 극한

문제

좌표평면에서 직선 y=1y = 1 위의 점 Pn(n,1)\mathrm{P} _{\mathit{n}} ( \mathit{n} , 1 )에 대하여 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 다음과 같이 정의한다. ana _{n}==(선분 OPn\mathrm{OP} _{\mathit{n}}의 길이) (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots)

lim⁡n→∞[a1]+[a2]+[a3]+⋯+[an]n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left[ a _{1} \right] + \left[ a _{2} \right] + \left[ a _{3} \right] + \cdots + \left[ a _{n} \right]}{n ^{2}}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④11⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

주어진 조건에서 an=n2+1\displaystyle a _{n} = \sqrt{n ^{2} + 1}이다. n<n2+1<n2+2n+1=n+1\displaystyle n < \sqrt{n ^{2} + 1} < \sqrt{n ^{2} + 2 n + 1} = n + 1이므로 [an]=n\left[ a _{n} \right] = n이다. lim⁡n→∞[a1]+[a2]+[a3]+⋯+[an]n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left[ a _{1} \right] + \left[ a _{2} \right] + \left[ a _{3} \right] + \cdots + \left[ a _{n} \right]}{n ^{2}}} =lim⁡n→∞1+2+3+⋯+nn2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n ^{2}}}=lim⁡n→∞n(n+1)2n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}}} =lim⁡n→∞n(n+1)2n2=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}}} = \frac{1}{2}

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#가우스 기호#수열의 극한

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