각의 이등분선 보기

[출제의도] 삼각형과 닮음의 성질을 이용하여 주어진 <보기>의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. 삼각형 ${\mathrm{A} BD}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} B} = \overline{\mathrm{A} D}$인 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{A} BD} = \angle {\mathrm{A} DB}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{FG}}}$이므로 $\angle {\mathrm{A} DB} = \angle {\mathrm{F} GB}$ (엇각), $\angle {\mathrm{A} BD} = \angle {\mathrm{F} BG}$ (맞꼭지각) 즉, $\angle {\mathrm{F} GB} = \angle {\mathrm{F} BG}$이므로 삼각형 $\mathrm{FBG}$는 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} F} = \overline{\mathrm{G} F}$ (참) ㄴ. 두 삼각형 $\mathrm{A} FE$, $\mathrm{A} CE$에서 $\angle {\mathrm{F} AE} = \angle {\mathrm{C} AE}$ (선분 $\mathrm{A} E$는 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선) $\angle {\mathrm{A} EF} = \angle {\mathrm{A} EC} = 90 ^\circ$ ($\displaystyle \overline{\mathrm{A} E} \perp \overline{\ CF}$) $\displaystyle \overline{\mathrm{A}} E$는 공통 삼각형의 합동조건에 의해 $\mathrm{\triangle} AFE \equiv \triangle ACE$ 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{F} E} = \overline{\mathrm{C} E}$이고 두 삼각형 $\mathrm{C} DE$와 $\mathrm{C} GF$는 닮음비가 $1 : 2$인 닮음인 도형이다. 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{GF}}}$이고 ㄱ에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} F} = \overline{\mathrm{G} F}$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{BF}}}$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{BF}}}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} E}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A}} D + \overline{\mathrm{D} E}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} B} + \frac{1}{2} \overline{\mathrm{B} F}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( \overline{\mathrm{A}} B + \overline{\mathrm{A} B} + \overline{\mathrm{B} F} )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( \overline{\mathrm{A} B} + \overline{\mathrm{A} F} )$ 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} E}$$\displaystyle = \frac{1}{2} ( {\overline{\mathrm{A} B} + \overline{\mathrm{A} C} )}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.