미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가까운 자연수와 극한

문제

자연수 nn에 대하여 an=n(n+1)\displaystyle a _{n} = \sqrt{n ( n + 1 )}이라 하자. ana _{n}에 가장 가까운 자연수를 bnb _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞5∣an−bn∣\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5}{\left| a _{n} - b _{n} \right|}}의 값을 구하시오. [3점]

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10

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기 n2<n(n+1)<(n+1)2\displaystyle \sqrt{n ^{2}} < \sqrt{n ( n + 1 )} < \sqrt{\left( n + 1 \right) ^{2}} (n+1)2−n(n+1)=n+1⋯⋯㉠\left( n + 1 \right) ^{2} - n \left( n + 1 \right) = n + 1 \cdots \cdots \text{㉠} n(n+1)−n2=n⋯⋯㉡n \left( n + 1 \right) - n ^{2} = n \cdots \cdots \text{㉡} ㉠\text{㉠}과 ㉡\text{㉡}에 의해 bn=nb _{n} = n lim⁡n→∞5∣an−bn∣\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5}{\left| a _{n} - b _{n} \right|}}=lim⁡n→∞5n(n+1)−n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5}{\sqrt{n ( n + 1 )} - n}} =lim⁡n→∞5(n(n+1)+n)n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 \left( \sqrt{n ( n + 1 )} + n \right)}{n}}=10= 10

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#수열의 극한#무리식

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