각 이등분선 길이 극한

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다. 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + \mathrm{\overline{CA}} ^{2}$$= 4 + n ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{\mathit{n} ^{2} + 4}$ 선분 $\mathrm{AD}$가 $\mathrm{\angle} A$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} : \mathrm{\overline{CD}} = 2 : \mathit{n}$ 즉 $\displaystyle a _{n} = {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{n}{n + 2} \times {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \frac{n \sqrt{n ^{2} + 4}}{n + 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( n - a _{n} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( n - \frac{n \sqrt{n ^{2} + 4}}{n + 2} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n \left( n + 2 - \sqrt{n ^{2} + 4} \right)}{n + 2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{n}{n + 2} \times \frac{\left( n + 2 \right) ^{2} - \left( n ^{2} + 4 \right)}{n + 2 + \sqrt{n ^{2} + 4}} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{n}{n + 2} \times \frac{4 n}{n + 2 + \sqrt{n ^{2} + 4}} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} \times \frac{4}{1 + \frac{2}{n} + \sqrt{1 + \frac{4}{n ^{2}}}} \right)}$ $= 2$