개수 조건 있는 나열

주어진 조건을 만족시키는 순서쌍 $\left( p , q , r \right)$은 $\left( 1 , 2 , 5 \right)$ 또는 $\left( 1 , 3 , 4 \right)$이다. (ⅰ) 순서쌍 $\left( p , q , r \right)$이 $\left( 1 , 2 , 5 \right)$인 경우 $\mathrm{8}$개의 문자 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{8 !}{2 ! \times 5 !} = 168$ (ⅱ) 순서쌍 $\left( p , q , r \right)$이 $\left( 1 , 3 , 4 \right)$인 경우 $\mathrm{8}$개의 문자 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{8 !}{3 ! \times 4 !} = 280$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $168 + 280 = 448$