공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

f(3x)=3f(x) 함수값

문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, f(2015)f ( 2015 )의 값을 구하시오. [4점]

(가) f(x)=1−∣x−2∣(1≤x≤3)f ( x ) = 1 - \left| x - 2 \right| ( 1 \leq x \leq 3 ) (나) 모든 양의 실수 xx에 대하여 f(3x)=3f(x)f ( 3 x ) = 3 f ( x )이다.

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해설

[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 함숫값 추측하기 조건 (나)에 의하여 f(2015)=f(3×20153)\displaystyle f \left( 2015 \right) = f \left( 3 \times \frac{2015}{3} \right) =3f(20153)\displaystyle = 3 f \left( \frac{2015}{3} \right) =32f(201532)\displaystyle = 3 ^{2} f \left( \frac{2015}{3 ^{2}} \right) ⋮\vdots =36f(201536)\displaystyle = 3 ^{6} f \left( \frac{2015}{3 ^{6}} \right) 이다. 201536\displaystyle \frac{2015}{3 ^{6}}의 범위는 2<201536<3\displaystyle 2 < \frac{2015}{3 ^{6}} < 3이므로 조건 (가)에 의하여 f(201536)=3−201536\displaystyle f \left( \frac{2015}{3 ^{6}} \right) = 3 - \frac{2015}{3 ^{6}}이다. ∴\therefore36f(201536)=36(3−201536)\displaystyle 3 ^{6} f \left( \frac{2015}{3 ^{6}} \right) = 3 ^{6} \left( 3 - \frac{2015}{3 ^{6}} \right)=37−2015=172= 3 ^{7} - 2015 = 172

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