공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

음수 제곱근과 충분조건

문제

두 조건 p:x+1x−8=−x+1x−8\displaystyle p : \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 8}} = - {\sqrt{\frac{x + 1}{{x - 8}}}}, q:a−8<x<a+3q : a - 8 < x < a + 3에 대하여 pp는 qq이기 위한 충분조건일 때, 상수 aa의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 충분조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. p:x+1x−8=−x+1x−8\displaystyle p : \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 8}} = - {\sqrt{\frac{x + 1}{{x - 8}}}}이 성립하려면 x−8<0x - 8 < 0이고 x+1≥0x + 1 \geq 0에서 −1≤x<8- 1 \leq x < 8 pp, qq의 진리집합을 각각 PP, QQ라 하면 P={x∣−1≤x<8}P = \left\{ x | - 1 \leq x < 8 \right\} Q={x∣a−8<x<a+3}Q = \left\{ x | a - 8 < x < a + 3 \right\} pp가 qq이기 위한 충분조건이 되기 위해서는 P⊂QP \subset Q이므로 다음 수직선에서 a+3≥8a + 3 \geq 8 이고 a−8<−1a - 8 < - 1

따라서 5≤a<75 \leq a < 7이므로 aa의 최솟값은 55이다.

태그

#충분조건#음수의 제곱근

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