음이 아닌 정수해 개수

[출제의도] 중복조합을 이용하여 추론하기 조건 (가)의 $a + b + c + d + e = 10$과 조건 (나)의 $- 2 \leq a - b + c - d + e \leq 2$에서 $8 \leq 2 a + 2 c + 2 e \leq 12$ $4 \leq a + c + e \leq 6$ (ⅰ) $a + c + e = 4$일 때 $b + d = 6$이고, 구하는 모든 순서쌍 $( a , b , c , d , e )$의 개수는 두 방정식 $a + c + e = 4 , b + d = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ${}_{3} \mathrm{H} _{4} \times _{2} \mathrm{H} _{6} = _{6} \mathrm{C} _{4} \times _{7} \mathrm{C} _{6} = 15 \times 7 = 105$ (ⅱ) $a + c + e = 5$일 때 $b + d = 5$이고, 구하는 모든 순서쌍 $( a , b , c , d , e )$의 개수는 두 방정식 $a + c + e = 5 , b + d = 5$를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ${}_{3} \mathrm{H} _{5} \times _{2} \mathrm{H} _{5} = _{7} \mathrm{C} _{5} \times _{6} \mathrm{C} _{5} = 21 \times 6 = 126$ (ⅲ) $a + c + e = 6$일 때 $b + d = 4$이고, 구하는 모든 순서쌍 $( a , b , c , d , e )$의 개수는 두 방정식 $a + c + e = 6 , b + d = 4$을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ${}_{3} \mathrm{H} _{6} \times _{2} \mathrm{H} _{4} = _{8} \mathrm{C} _{6} \times _{5} \mathrm{C} _{4} = 28 \times 5 = 140$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는 $105 + 126 + 140 = 371$