확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

엔진 고장 조건부확률

문제

어느 배의 제1축과 제2축의 주엔진과 보조엔진은 그림과 같다.

이 배는 주엔진이 고장나면 보조엔진이 작동되어 운항하고, 한 축의 엔진이 모두 고장나면 운항할 수 없다. A\mathrm{A}항구를 출발한 배가 B\mathrm{B}항구까지 운항하는데 각 엔진이 고장날 확률은 각각 10%10 \%이고 제Ⅰ축과 제Ⅱ축은 독립적으로 작동한다. 주엔진 두 개를 작동한 상태로 출발한 배가 A\mathrm{A}항구에서 B\mathrm{B}항구까지 운항하였을 때, 보조엔진이 작동되었을 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. 이 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수) [4점]

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해설

AA에서 BB까지 운항하는 경우는 44가지 경우이다. ⅰ) Ⅰ축 주엔진, Ⅱ축 주엔진: 0.9×0.90.9 \times 0.9 ⅱ) Ⅰ축 주엔진, Ⅱ축 보조엔진: 0.9×0.1×0.90.9 \times 0.1 \times 0.9 ⅲ) Ⅰ축 보조엔진, Ⅱ축 주엔진: 0.1×0.9×0.90.1 \times 0.9 \times 0.9 ⅳ) Ⅰ축 보조엔진, Ⅱ축 보조엔진: 0.1×0.9×0.1×0.90.1 \times 0.9 \times 0.1 \times 0.9 AA에서 BB까지 운항할 사건을 EE라고 하면 P(E)=0.9×0.9+0.1×0.9×0.9×2+0.1×0.9×0.1×0.9\mathrm{P} \mathit{(} E ) = 0.9 \times 0.9 + 0.1 \times 0.9 \times 0.9 \times 2 + 0.1 \times 0.9 \times 0.1 \times 0.9 =(0.9)2{1+0.2+(0.1)2}= ( 0.9 ) ^{2\left\{ 1 + 0.2 + ( 0.1 ) ^{2} \right\}} 보조엔진이 사용되는 사건을 DD라고 하면 P(D∣E)=P(D∩E)P(E)=(0.9)2{0.2+(0.1)2}(0.9)2{1+0.2+(0.1)2}\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} D | E ) = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( D \cap E \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( E \right)}} = \frac{( 0.9 ) ^{2} \left\{ 0.2 + ( 0.1 ) ^{2} \right\}}{( 0.9 ) ^{2} \left\{ 1 + 0.2 + ( 0.1 ) ^{2} \right\}}=21121\displaystyle = \frac{21}{121}

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#조건부확률#독립

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