공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원의 공통내접선

문제

그림과 같이 원 x2+y2=4x ^{2} + y ^{2} = 4와 xx축에 동시에 접하고 반지름의 길이가 11인 원이 있다. 이 두 원의 접점 T\mathrm{T}와 이 두 원의 공통내접선이 yy축과 만나는 점 A\mathrm{A}에 대하여 선분 AT‾\displaystyle \mathrm{\overline{AT}} \mathit{}의 길이를 ll이라 할 때, l2l ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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32

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해설

[출제의도] 원의 성질을 활용한 수학 내적 문제해결하기

원 x2+y2=4x ^{2} + y ^{2} = 4와 xx축에 동시에 접하고 반지름의 길이가 11인 원의 중심의 좌표는 (22,1)\displaystyle ( 2 \sqrt{2} , 1 )이다. ∠AOT=θ\mathrm{\angle} AOT = \theta라 하면 tan⁡θ=l2\displaystyle \tan \theta = \frac{l}{2} 직각삼각형 O′OH\mathrm{O}' OH에서 tan⁡(π2−θ)=122\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}이므로 tan⁡θ=22\displaystyle \tan \theta = 2 \sqrt{2} ∴ l2=(2tan⁡θ)2=32l ^{2} = ( 2 \tan \theta ) ^{2} = 32

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#공통접선#삼각비

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