중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원과 삼각형 넓이 최대

문제

반지름의 길이가 1010인 두 원 O,O′\mathrm{O} , O' 가 그림과 같이 두 점 A,C\mathrm{A} , C 에서 만날 때 생기는 마름모 ABCD\mathrm{ABCD} 가 있다. ∠ABC=150∘\angle \mathrm{ABC} = 150 ^{\circ} 일 때, 원 위의 임의의 점 P\mathrm{P} 에 대하여 △APC\mathrm{\triangle} APC의 넓이의 최대값이 a+b3\displaystyle a + b \sqrt{3} 이다. a+ba + b 의 값을 구하시오. (단, a,ba , b 는 유리수) [4점]

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75

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해설

[출제의도] 원주각과 중심각의 관계와 삼각비를 활용하고 삼각형의 넓이 구하기

점 O\mathrm{O}에서 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. ∠ABC=∠ADC=150∘\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{ADC} = 150 ^{\circ}이므로 ∠AOC=60∘\angle \mathrm{AOC} = 60 ^{\circ}이다. (∵∠APC=30∘\because \angle \mathrm{APC} = 30 ^{\circ}) 따라서 △AOC\triangle \mathrm{AOC}가 정삼각형이다. △APC\triangle \mathrm{APC}의 넓이가 최대가 되려면 밑변 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}의 길이가 일정하므로 높이가 최대이어야 한다. 즉, 점 P\mathrm{P}가 OH‾\displaystyle \mathrm{\overline{OH}}의 연장선 위에 있을 때, 높이 PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}가 최대가 되므로 PH‾=OP‾+OH‾=10+53\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \mathrm{\overline{OP}} \mathrm{+} \overline{OH} = 10 + 5 \sqrt{3} ∴△APC\triangle \mathrm{APC}의 최대 넓이를 SS라고 하면 S=12×AC‾×PH‾\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{PH}} =12×10×(10+53)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 10 \times \left( 10 + 5 \sqrt{3} \right) =50+253\displaystyle = 50 + 25 \sqrt{3} 따라서 a+b=75a + b = 75

태그

#원#넓이 최대#중학

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