미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 수열 극한 비

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 과 $\left\{ b _{n} \right\}$ 이 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( n + 1 ) a _{n} = 2$ , $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( n ^{2} + 1 \right) b _{n} = 7$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{( 10 n + 1 ) b _{n}}{a _{n}}$ 의 값을 구하시오. (단, $a _{n} \neq 0$ ) [3점]

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35

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[출제의도] 무한수열의 극한을 구할 수 있는가? $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{( 10 n + 1 ) b _{n}}{a _{n}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{( n ^{2} + 1 ) b _{n}}{( n + 1 ) a _{n}} \times \frac{( n + 1 ) ( 10 n + 1 )}{n ^{2} + 1}$ $\displaystyle = \frac{7}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10 + \frac{11}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n ^{2}}}}$ $\displaystyle = \frac{7}{2} \times 10 = 35$

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