두 신뢰구간과 표준편차

[출제의도] 모평균을 추정하여 신뢰구간을 구할 수 있는가? 전기 자동차 $100$대를 임의추출하여 얻은 $1$회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\displaystyle \overline{x _{1}}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간은 $\displaystyle {\overline{x _{1}}} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}} \leq m \leq {\overline{x _{1}}} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}}$ $\displaystyle {\overline{x _{1}}} - 1.96 \times \frac{\sigma}{10} \leq m \leq {\overline{x _{1}}} + 1.96 \times \frac{\sigma}{10}$ 전기 자동차 $400$대를 임의추출하여 얻은 $1$회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\displaystyle \overline{x _{2}}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99 \%$의 신뢰구간은 $\displaystyle {\overline{x _{2}}} - 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{400}} \leq m \leq {\overline{x _{2}}} + 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{400}}$ $\displaystyle {\overline{x _{2}}} - 2.58 \times \frac{\sigma}{20} \leq m \leq {\overline{x _{2}}} + 2.58 \times \frac{\sigma}{20}$ 이때, $a = c$에서 $\displaystyle {\overline{x _{1}}} - 1.96 \times \frac{\sigma}{10}$$\displaystyle = {\overline{x _{2}}} - 2.58 \times \frac{\sigma}{20}$ 이고 $\displaystyle {\overline{x _{1}}} - {\overline{x _{2}}}$$= 1.34$이므로 $\displaystyle \overline{x _{1}} - \overline{x _{2}}$$\displaystyle = 1.96 \times \frac{\sigma}{10} - 2.58 \times \frac{\sigma}{20}$ $\displaystyle = 0.67 \times \frac{\sigma}{10}$$= 1.34$ $\sigma$$\displaystyle = \frac{1.34 \times 10}{0.67}$$= 20$ 따라서 $b - a$$\displaystyle = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{10}$ $= 2 \times 1.96 \times 2$ $= 7.84$