확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 신뢰구간 비교

문제

어느 고등학교 학생들의 11개월 자율학습실 이용 시간은 평균이 m,m ,표준편차가 55인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 학생 2525명을 임의추출하여 11개월 자율학습실 이용 시간을 조사한 표본평균이 x‾1\displaystyle \overline{x} _{1}일 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간이 80−a≤m≤80+a80 - a \leq m \leq 80 + a이었다. 또 이 고등학교 학생 nn명을 임의추출하여 11개월 자율학습실 이용 시간을 조사한 표본평균이 x‾2\displaystyle \overline{x} _{2}일 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간이 다음과 같다. 1516x‾1−57a≤m≤1516x‾1+57a\displaystyle \frac{15}{16} \overline{x} _{1} - \frac{5}{7} a \leq m \leq \frac{15}{16} \overline{x} _{1} + \frac{5}{7} a n+x‾2\displaystyle n + \overline{x} _{2}의 값은? (단, 이용 시간의 단위는 시간이고, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(0≤Z≤1.96)=0.475\mathrm{P} ( \mathit{0} \leq Z \leq 1.96 ) = 0.475로 계산한다.) [4점]

①121121②124124③127127④130130⑤133133

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②

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해설

XX를 자율학습실 이용시간이라 하면 XX는 정규분포 N(m,52)N ( m , 5 ^{2} )을 따른다. 표본의 크기 n=25n = 25이므로 a=1.96×525=1.96\displaystyle a = 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{25}} = 1.96이고 x1‾=80\displaystyle \overline{x _{1}} = 80, x2‾=1516×80=75\displaystyle \overline{x _{2}} = \frac{15}{16} \times 80 = 75 따라서 1.965n=57×1.96\displaystyle 1.96 \frac{5}{\sqrt{n}} = \frac{5}{7} \times 1.96 n=49n = 49 ∴n+x2‾=49+75=124\displaystyle \therefore n + \overline{x _{2}} = 49 + 75 = 124

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#신뢰구간#표본평균

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