두 식 곱의 전개식 계수

$\left( x ^{2} + y \right) ^{4}$의 전개식의 일반항은 ${} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{r}} \left( x ^{2} \right) ^{4 - r} y ^{r}$ ($r$은 $0 \leq r \leq 4$인 정수) $\displaystyle \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y ^{2}} \right) ^{5}$의 전개식의 일반항은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{t}} \left( \frac{2}{x} \right) ^{5 - t} \left( \frac{1}{y ^{2}} \right) ^{t}$ ($t$는 $0 \leq t \leq 5$인 정수) 즉 $\displaystyle \left( x ^{2} + y \right) ^{4} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y ^{2}} \right) ^{5}$의 전개식의 일반항은 $\displaystyle {} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{r}} {} \times _{5} \mathrm{C} \mathit{_{t}} \times \left( x ^{2} \right) ^{4 - r} y ^{r} \times \left( \frac{2}{x} \right) ^{5 - t} \left( \frac{1}{y ^{2}} \right) ^{t}$ $= {} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{r}} {} \times _{5} \mathrm{C} \mathit{_{t}} \times 2 ^{5-t} \times x ^{\left( 8 - 2 r \right) - \left( 5 - t \right)} \times y ^{r - 2 t}$ $= {} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{r}} {} \times _{5} \mathrm{C} \mathit{_{t}} \times 2 ^{5-t} \times x ^{3 - 2 r + t} \times y ^{r - 2 t}$ 즉 $\displaystyle \frac{x ^{4}}{y ^{5}}$항은 $3 - 2 r + t = 4$, $r - 2 t = - 5$일 때이므로 이를 연립하여 풀면 $r = 1$, $t = 3$ 따라서 $\displaystyle \frac{x ^{4}}{y ^{5}}$의 계수는 ${}_{4} \mathrm{C} _{1} \times _{5} \mathrm{C} _{3} \times 2 ^{2}$$= 160$