두 표본평균 확률

정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( m , 6 ^{2} \right)}$을 따르는 모집단에서 크기가 $9$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( m , 2 ^{2} \right)}$을 따르고, 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 6 , 2 ^{2} \right)}$을 따르는 모집단에서 크기가 $4$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 $\displaystyle {\overline{Y}}$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 6 , 1 \right)}$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{X}} \leq 12 \right)}$$\displaystyle \mathrm{+} P \mathit{\left( {\overline{Y}} \geq 8 \right)} = 1$에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{X}} \leq 12 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z _{\overline{X}} \leq \frac{12 - m}{2} \right)}$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{Y}} \geq 8 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z _{{\overline{Y}}} \geq \frac{8 - 6}{1} \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z _{{\overline{Y}}} \geq 2 \right)}$ 이므로 $\displaystyle \frac{12 - m}{2} = 2$ $\therefore$ $m = 8$