확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 표본평균 확률

문제

정규분포 N(0,42)N \left( 0 , 4 ^{2} \right)을 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 X‾\displaystyle {\overline{X}}, 정규분포 N(3,22)N \left( 3 , 2 ^{2} \right)을 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 Y‾\displaystyle {\overline{Y}}라 하자. P(X‾≥1)=P(Y‾≤a)\displaystyle P \left( {\overline{X}} \geq 1 \right) = P \left( {\overline{Y}} \leq a \right)를 만족시키는 상수 aa의 값은? [3점] ①198\displaystyle \frac{19}{8}②52\displaystyle \frac{5}{2}③218\displaystyle \frac{21}{8}④114\displaystyle \frac{11}{4}⑤238\displaystyle \frac{23}{8}

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③

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해설

[출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가? 확률변수 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(0,(43)2)\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 0 , \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} \right)}을 따르므로 Z=X‾−043\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 0}{\frac{4}{3}}으로 놓으면 확률변수 ZZ는 표준정규분포 N(0,1)\mathrm{N} ( 0 , 1 )을 따른다. 또 확률변수 Y‾\displaystyle \overline{Y}는 정규분포 N(3,(12)2)\displaystyle \mathrm{N} \left( 3 , \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right)을 따르므로 Z=Y‾−312\displaystyle Z = \frac{\overline{Y} - 3}{\frac{1}{2}}라 놓으면 확률변수 ZZ는 정규분포표 N(0,1)\mathrm{N} ( 0 , 1 )를 따른다. P(X‾≥1)=P(Y‾≤a)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{\overline{X}} \geq 1 \right) = \mathrm{P} ( {\overline{Y}} \leq a )에서 P(Z≥1−043)=P(Z≤a−312)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{1 - 0}{\frac{4}{3}} \right) = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{a - 3}{\frac{1}{2}} \right) P(Z≥34)=P(Z≤2(a−3))\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{3}{4} \right)} = \mathrm{P} ( \mathit{\mathit{Z}} \leq 2 ( a - 3 ) ) 34+2(a−3)=0\displaystyle \frac{3}{4} + 2 ( a - 3 ) = 0에서 a=218\displaystyle a = \frac{21}{8}

태그

#표본평균#정규분포

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