두 표본평균 확률

[출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 확률을 구할 수 있는가? 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 50 , 8 ^{2} \right)}$을 따르는 모집단에서 임의추출한 표본의 크기가 $16$인 표본평균 $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 50 , \left( \frac{8}{\sqrt{16}} \right) ^{2} \right)}$ 즉, ${\mathrm{N}} \left( 50 , 2 ^{2} \right)$을 따른다. 또, 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 75 , \sigma ^{2} \right)}$을 따르는 모집단에서 임의추출한 표본의 크기가 $25$인 표본평균 $\displaystyle {\overline{Y}}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 75 , \left( \frac{\sigma}{\sqrt{25}} \right) ^{2} \right)}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 75 , \left( \frac{\sigma}{5} \right) ^{2} \right)}$을 따른다. 이때 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( {\overline{X}} \leq 53 \right)$$\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{{\overline{X}} - 50}{2} \leq \frac{53 - 50}{2} \right)$ $= {\mathrm{P}} \left( Z \leq 1.5 \right)$ $= 0.5 + {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right)$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{Y}} \leq 69 \right)}$$\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{{\overline{Y}} - 75}{\frac{\sigma}{5}} \leq \frac{53 - 50}{\frac{\sigma}{5}} \right)$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \leq - \frac{30}{\sigma} \right)$ $\displaystyle = 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{30}{\sigma} \right)}$ 이다. 이때 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( {\overline{X}} \leq 53 \right) + {\mathrm{P}} \left( {\overline{Y}} \leq 69 \right) = 1$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right) = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{30}{\sigma} \right)$ 즉, $\displaystyle 1.5 = \frac{30}{\sigma}$이어야 한다. $\therefore \sigma = 20$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( {\overline{Y}} \geq 71 \right)$$\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{{\overline{Y}} - 75}{4} \geq \frac{71 - 75}{4} \right)$ $= {\mathrm{P}} \left( Z \geq - 1 \right)$ $= 0.5 + {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 1 \right)$ $= 0.5 + 0.3413$ $= 0.8413$