두 주머니 조건부확률

주머니 $\mathrm{A}$에 있는 검은 공의 개수가 주머니 $\mathrm{B}$에 있는 검은 공의 개수보다 크므로 시행을 마친 후 두 주머니 안에 있는 검은 공의 수가 같으려면 주머니 $\mathrm{A}$에서 적어도 하나의 검은 공을 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣어야 한다. ⅰ) 주머니 $\mathrm{A}$에서 검은 공 $2$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣는 경우 주머니 $\mathrm{B}$에서 검은 공 $1$개, 흰 공 $1$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{A}$에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다. 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{\mathrm{{}_{4} C _{2}}}{{}_{6} C _{2}} \times \frac{{}_{4} C _{1} \times _{4} C _{1}}{{}_{8} C _{2}}$$\displaystyle = \frac{8}{35}$ ⅱ) 주머니 $\mathrm{A}$에서 흰 공 $1$개, 검은 공 $1$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣는 경우 주머니 $\mathrm{B}$에서 흰 공 $2$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{A}$에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다. 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{\mathrm{{}_{2} C _{1} \times _{4} C _{1}}}{{}_{6} C _{2}} \times \frac{{}_{5} C _{2}}{{}_{8} C _{2}}$$\displaystyle = \frac{4}{21}$ ⅰ), ⅱ)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{\frac{8}{35}}{\frac{8}{35} + \frac{4}{21}}$$\displaystyle = \frac{6}{11}$