두 직각삼각형 교점 길이

[출제의도] 특수각의 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 변의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 $\mathrm{E}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{EH}$의 길이를 $x$라 하면

삼각형 $\mathrm{BHE}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} = \overline{BH} =$$x$ 삼각형 $\mathrm{CHE}$는 $\mathrm{\angle} ECH = 30 ^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} \mathit{=} \sqrt{3} x = 6 - \mathit{x}$ $\displaystyle ( \sqrt{3} + 1 ) x = 6$ $\displaystyle \therefore x = \frac{6}{\sqrt{3} + 1}$$\displaystyle = 3 ( \sqrt{3} - 1 )$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{CE}} =} 2 x = 6 ( \sqrt{3} - 1 )$ [다른풀이] $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}}$는 $\mathrm{\angle} ABC$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BC} = \overline{AE} : \overline{EC} = 1 : \sqrt{3}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 2 \overline{AB} = 4 \sqrt{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \times \overline{AC}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{\sqrt{3}}}{\sqrt{3} + 1} \times 4 \sqrt{3}$ $\displaystyle = 6 ( \sqrt{3} - 1 )$ [다른 풀이] $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BC} = 1 : \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{3}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = 6 - \mathit{x}$이고 $\mathrm{\triangle} ABC$󰁀$\mathrm{\triangle} EHC$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{EH} = \overline{BC} : \overline{HC}$ $\displaystyle 2 \sqrt{3} : x = 6 : 6 - x$ $\displaystyle 6 x = 12 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} x$ $\displaystyle x = \frac{6 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 3 ( \sqrt{3} - 1 )$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{CE}} =} 2 x = 6 ( \sqrt{3} - 1 )$