두 점 이동 확률

$5$ 이상의 눈이 나오는 횟수를 $X$라 하면 $4$ 이하의 눈이 나오는 횟수는 $5 - X$이므로 점 $\mathrm{A}$의 위치는 $2 X - 2 ( 5 - X )$$= 4 X - 10$이고 점 $\mathrm{B}$의 위치는 $- X + ( 5 - X ) = 5 - 2 X$이다. 이때, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 $| ( 4 X - 10 ) - ( 5 - 2 X ) |$$= | 6 X - 15 |$ 이다. $| 6 X - 15 | \leq 3$에서 $- 3 \leq 6 X - 15 \leq 3$, 즉 $2 \leq X \leq 3$ 주사위를 던져 $5$ 이상의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$이므로 확률변수 $X$는 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 5 , \frac{1}{3} \right)$를 따른다. 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리가 $3$ 이하가 될 확률은 ${\mathrm{P}} ( 2 \leq X \leq 3 )$$= {\mathrm{P}} ( X = 2 ) + {\mathrm{P}} ( X = 3 )$ $\displaystyle = _{5} {\mathrm{C}} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} + _{5} {\mathrm{C}} _{3} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{40}{81}$ ∴ $p = 81$, $q = 40$ ∴ $p + q$$= 121$