두 규칙 이동 확률

좌표평면 위에서 점 $\mathrm{P}$는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙$1$) 또는 (규칙$2$)를 따라 이동한다. (규칙$1$) $x$축의 양의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 양의 방향으로 $2$만큼 이동한다. (규칙$2$) $x$축의 양의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 양의 방향으로 $1$만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 $\mathrm{O}$에 있는 점 $\mathrm{P}$가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다. 점 $\mathrm{P}$가 (규칙$1$)을 따라 이동할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 (규칙$2$)를 따라 이동할 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$일 때, 위와 같은 규칙으로 점 $\mathrm{P}$가 원점 $\mathrm{O}$에서부터 다섯 번의 이동으로 점 $( 8 , 7 )$에 도달할 확률은 $\displaystyle \frac{q}{p}$이다. 이때, 서로소인 두 자연수 $p$, $q$의 합 $p + q$의 값을 구하시오. (단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.) [4점]