확률과 통계조건부확률수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 공 크기 비교 확률 증명

문제

$1$ 부터 $10$ 까지 자연수가 하나씩 적힌 열 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자 안의 공들을 잘 섞은 후에 차례로 두 개의 공을 꺼낼 때, 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 처음 꺼낸 공에 적힌 수보다 큰 수일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이다. 다음은 이에 대한 증명이다. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다)

	[ 증 명 ]

처음 꺼낸 공에 적힌 수를 $X _{1}$ , 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 $X _{2}$ 라 하고 구하는 확률을 $p$ 라 하자. $1$ 부터 $10$ 까지의 자연수 $n$ 에 대하여 $X _{1} = n$ 인 사건을 $A _{n}$ 이라 하고, $X _{2} \geq n + 1$ 인 사건을 $B _{n}$ 이라 하자. 그러면 $\displaystyle p = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \square {\text{(가)}} \cdot P ( A _{n} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} \frac{10 - n}{9} \cdot \square {\text{(나)}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$ 이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [1.5점] (가) (나) ① $P ( A _{n} \cap B _{n} )$ $\displaystyle \frac{1}{10}$ ② $P ( B _{n} )$ $\displaystyle \frac{1}{10}$ ③ $P ( B _{n} )$ $\displaystyle \frac{1}{9}$ ④ $P ( B _{n} | A _{n} )$ $\displaystyle \frac{9}{10}$ ⑤ $P ( B _{n} | A _{n} )$ $\displaystyle \frac{1}{10}$

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⑤

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해설

$\displaystyle p = \sum\limits _{n=1} ^{10} P ( A _{n} \cap B _{n} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} P ( A _{n} ) \cdot P ( B _{n} | A _{n} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} [ P ( B _{n} | A _{n} ) ] P ( A _{n} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} \frac{1}{10} \cdot \frac{10 - n}{9}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} \frac{10 - n}{9} \cdot \left[ \frac{1}{10} \right] = \frac{1}{2}$

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