공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 분수부등식 해 일치

문제

두 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{x ^{2} - a ^{2}}{x ^{2} - x + 1} < 0$ 의 해가 부등식 $\displaystyle \frac{1}{x - 2 b} < \frac{1}{x + 2}$ 의 해와 같을 때, $ab$ 의 값은? (단, $a > 0$ 이다.) [3점] ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$

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①

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해설

(i) $\displaystyle \frac{x ^{2} - a ^{2}}{x ^{2} - x + 1} < 0$ 에서 $x ^{2} - x + 1 > 0$ 이므로 $x ^{2} - a ^{2} < 0$ $\therefore - a < x < a$ …… ㉠ (ii) $\displaystyle \frac{1}{x - 2 b} < \frac{1}{x + 2}$ 의 양변에 $( x - 2 b ) ^{2} ( x + 2 ) ^{2}$ 을 곱하면 $( x + 2 ) ^{2} ( x - 2 b ) < ( x + 2 ) ( x - 2 b ) ^{2}$ $( x + 2 ) ( x - 2 b ) ( x + 2 - x + 2 b ) < 0$ $( 2 + 2 b ) ( x + 2 ) ( x - 2 b ) < 0$ …… ㉡㉡이 ㉠과 같은 해를 갖기 위해서는 $2 + 2 b > 0$ , $a = 2$ , $b = 1$ 이어야 한다. $\therefore ab = 2$

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