확률과 통계순열과 조합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

도로망 최단 경로

문제

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A{\mathrm{A}}지점에서 출발하여 B{\mathrm{B}}지점까지 최단 거리로 갈 때, P{\mathrm{P}}지점을 지나면서 Q{\mathrm{Q}}지점을 지나지 않는 경우의 수는? [3점]

①72\mathrm{72}②81\mathrm{81}③90\mathrm{90}④99\mathrm{99}⑤108\mathrm{108}

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④

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해설

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 aa, 위쪽으로 한 칸 가는 것을 bb라 하자. A{\mathrm{A}}지점에서 P{\mathrm{P}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 2\mathrm{2}개의 aa와 1\mathrm{1}개의 bb를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 3!2!1!=3\displaystyle \frac{3 !}{2 ! 1 !} = 3 마찬가지 방법으로 P{\mathrm{P}}지점에서 C{\mathrm{C}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3!1!2!=3\displaystyle \frac{3 !}{1 ! 2 !} = 3 A{\mathrm{A}}지점에서 P{\mathrm{P}}지점을 지나 C{\mathrm{C}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3×3=93 \times 3 = 9 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 마찬가지 방법으로 C{\mathrm{C}}지점에서 B{\mathrm{B}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 6!3!3!=20\displaystyle \frac{6 !}{3 ! 3 !} = 20 C{\mathrm{C}}지점에서 Q{\mathrm{Q}}지점을 지나 B{\mathrm{B}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 A{\mathrm{A}}지점에서 P{\mathrm{P}}지점을 지나 C{\mathrm{C}}지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수와 같으므로 9\mathrm{9} C{\mathrm{C}}지점에서 B{\mathrm{B}}지점까지 Q{\mathrm{Q}}지점을 지나지 않고 최단 거리로 가는 경우의 수는 20−9=1120 - 9 = 11 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에 의해 구하는 경우의 수는 9×11=999 \times 11 = 99

태그

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