동심원과 접선 보기

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 주어진 <보기>의 참, 거짓을 추론하여 판별한다.

ㄱ. 그림과 같이 직선 $\mathrm{AB}$가 원 $O _{1}$과 접하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OAQ}$에서 선분 $\mathrm{AQ}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{{\overline{OA}}} ^{2} - {\mathrm{\overline{OQ}}} ^{2}$$= {3 ^{2} - 1 ^{2}}$$= 8$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ 원의 중심 $\mathrm{O}$에서 현 $\mathrm{AB}$에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 점 $\mathrm{Q}$는 현 $\mathrm{AB}$의 중점이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{AQ}}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{2}$ (참) ㄴ. 점 $\mathrm{A}$에서 현 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$라 하면 선분 $\mathrm{AR}$는 원의 중심 $\mathrm{O}$를 지난다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{AC}}$인 이등변삼각형이고 선분 $\mathrm{AR}$는 변 $\mathrm{BC}$를 이등분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BR}} = {\overline{RC}}$ 삼각형 $\mathrm{AQO}$와 삼각형 $\mathrm{ARB}$에서 $\mathrm{\angle} OQA = \angle BRA$$= 90 \mathit{^\circ}$이고 $\mathrm{\angle} OAQ$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{AQO}$와 $\mathrm{ARB}$는 서로 닮음이다. 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} : {\overline{OQ}}$$= 3 : 1$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BR}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CB}}} = 2 {\overline{\mathrm{BR}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{CB}}} = 3 : 2$이다. 삼각형 $\mathrm{ACP}$와 삼각형 $\mathrm{CBP}$에서 원주각의 성질에 의해 $\mathrm{\angle} C AP = \angle BCP$, $\mathrm{\angle} BPC$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{ACP}$와 $\mathrm{CBP}$는 서로 닮음이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{CP}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AC}} : {\overline{CB}}$$= 3 : 2$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 4 \sqrt{2} + \mathit{x}$ 두 삼각형 $\mathrm{ACP}$와 $\mathrm{CBP}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\mathrm{\overline{CP}}} : {\overline{AC}} = \mathrm{\overline{BP}} : {\overline{CB}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} \mathrm{:} 4 \sqrt{2} \mathit{\mathit{=}} x : \frac{\mathit{8 \sqrt{2}}}{3}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \frac{\mathit{3}}{2} x$ ㄴ에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{:} \mathrm{\overline{CP}} = 3 : 2$이므로 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{2} + x \right) : \frac{3}{2} x = 3 : 2$ $\displaystyle 8 \sqrt{2} + 2 x = \frac{9}{2} x$ $\displaystyle x = \frac{16 \sqrt{2}}{5}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \frac{16 \sqrt{2}}{5}$ (참) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.