미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

동심원 칠한 넓이 극한

문제

중심이 원점이고 반지름의 길이가 11, 22, 33, ⋯\cdots, 2n2 n인 동심원이 있다. <11단계> 반지름의 길이가 11인 원 내부의 11사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 11인 원과 반지름의 길이가 22인 원 사이의 22, 33, 44사분면에도 검은색을 칠한다. <22단계> 반지름의 길이가 22인 원과 반지름의 길이가 33인의 원사이의 11사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 33인 원과 반지름의 길이가 44인 원 사이의 22, 33, 44사분면에도 검은색을 칠한다. ⋮\vdots <nn단계> 반지름의 길이가 2n−22 n - 2인 원과 반지름의 길이가 2n−12 n - 1인원 사이의 11사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 2n−12 n - 1인 원과 반지름의 길이가 2n2 n인 원 사이의 22, 33, 44사분면에도 검은색을 칠한다.

⋯\cdots

이와 같이 nn단계까지 검은색으로 칠한 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Snn2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{S _{n}}{n ^{2}}의 값은? [4점] ①34π\displaystyle \frac{3}{4} \pi②π\pi③43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi④32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi⑤2π2 \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 극한값 구하기 nn단계에서 색칠하는 부분의 넓이를 ana _{n}이라 하면 a1=14π(12−02)+34π(22−12)\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4} \pi ( 1 ^{2} - 0 ^{2} ) + \frac{3}{4} \pi ( 2 ^{2} - 1 ^{2} ) a2=14π(32−22)+34π(42−32)\displaystyle a _{2} = \frac{1}{4} \pi ( 3 ^{2} - 2 ^{2} ) + \frac{3}{4} \pi ( 4 ^{2} - 3 ^{2} ) ⋮\vdots an=14π{(2n−1)2−(2n−2)2}\displaystyle a _{n} = \frac{1}{4} \pi \left\{ ( 2 n - 1 ) ^{2} - ( 2 n - 2 ) ^{2} \right\}+34π{(2n)2−(2n−1)2}\displaystyle + \frac{3}{4} \pi \left\{ ( 2 n ) ^{2} - ( 2 n - 1 ) ^{2} \right\} Sn=14π{∑k=1n(4k−3)}+34π{∑k=1n(4k−1)}\displaystyle S _{n} = \frac{1}{4} \pi \left\{ \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 4 k - 3 ) \right\} + \frac{3}{4} \pi \left\{ \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 4 k - 1 ) \right\} =14π(2n2−n)+34π(2n2+n)\displaystyle = \frac{1}{4} \pi ( 2 n ^{2} - n ) + \frac{3}{4} \pi ( 2 n ^{2} + n ) =π2(4n2+n)\displaystyle = \frac{\pi}{2} ( 4 n ^{2} + n ) lim⁡n→∞Snn2=lim⁡n→∞π2(4n2+n)n2=2π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{\pi}{2} \left( 4 n ^{2} + n \right)}{n ^{2}} = 2 \pi}

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