동전과 주머니 카드 확률

[출제의도] 확률의 곱셈법칙 이해하기 $3$개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 $3$인 사건을 $X$, 주머니에서 임의로 꺼낸 $2$장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 사건을 $Y$라 하자. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} \right) \mathit{=} \frac{1}{8}$, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} ^{C} \right) \mathit{=} 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 꺼낸 $2$장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $1$이 적혀 있는 카드를 $2$장 꺼내는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} \mathrm{C} _{2}}{{} _{6} \mathrm{C} _{2}} = \frac{1}{15}$ (ⅱ) $1$과 $2$가 적혀 있는 카드를 각각 $1$장씩 꺼내는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} {\mathrm{C}} _{1} \times _{2} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{6} {\mathrm{C}} _{2}} = \frac{4}{15}$ (ⅲ) $2$와 $3$이 적혀 있는 카드를 각각 $1$장씩 꺼내는 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} {\mathrm{C}} _{1} \times _{2} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{6} {\mathrm{C}} _{2}} = \frac{4}{15}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Y} | X \right) \mathit{=} \frac{1}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{3}{5}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} \cap Y \right) \mathit{=} \mathrm{P} \left( \mathit{X} \right) \mathit{\mathrm{P}} \left( \mathit{Y} | X \right) \mathit{=} \frac{1}{8} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{40}$ 주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 꺼낸 $2$장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 경우는 $3$과 $4$가 적혀 있는 카드를 각각 $1$장씩 꺼내는 경우이다. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Y} | X ^{C} \right) \mathit{=} \frac{{} _{2} \mathrm{C} _{1} \times _{2} \mathrm{C} _{1}}{{} _{6} \mathrm{C} _{2}} = \frac{4}{15}$ $\mathrm{P} \left( \mathit{X} ^{C} \cap Y \right)$$\mathrm{=} P \left( \mathit{X} ^{C} \right) \mathrm{P} \left( \mathit{Y} | X ^{C} \right)$$\displaystyle = \frac{7}{8} \times \frac{4}{15} = \frac{7}{30}$ $\mathrm{P} \left( \mathit{Y} \right)$$= \mathrm{P} \left( \mathit{X} \cap Y \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{X} ^{C} \cap Y \right)$$\displaystyle = \frac{3}{40} + \frac{7}{30} = \frac{37}{120}$