동전과 두 주머니

[출제의도] 조건부확률을 구하는 문제를 해결한다. [실행 $2$]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 사건을 $X$, [실행 $1$]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공 중 흰 공이 $2$개인 사건을 $Y$라 하자. (ⅰ) [실행 $1$]에서 동전의 앞면이 나오고, [실행 $2$]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 경우 [실행 $1$]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $2$개이고, [실행 $2$]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $5$개이거나 [실행 $1$]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개이고, [실행 $2$]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $4$개와 검은 공 $1$개일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{2}}{{}_{4} \mathrm{C} _{2}} \times \frac{{}_{5} \mathrm{C} _{5}}{{}_{6} \mathrm{C} _{5}} + \frac{1}{2} \times \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{1} \mathrm{C} _{1}}{{}_{4} \mathrm{C} _{2}} \times \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{4} \times _{2} \mathrm{C} _{1}}{{}_{6} \mathrm{C} _{5}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{24} + \frac{1}{12}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$ (ⅱ) [실행 $1$]에서 동전의 뒷면이 나오고, [실행 $2$]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 경우 [실행 $1$]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개이고, [실행 $2$]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $5$개일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{2} \times _{1} \mathrm{C} _{1}}{{}_{4} \mathrm{C} _{3}} \times \frac{{}_{5} \mathrm{C} _{5}}{{}_{7} \mathrm{C} _{5}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{21}$$\displaystyle = \frac{1}{56}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\mathrm{P} ( \mathit{X} )$$\displaystyle = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$$\displaystyle = \frac{8}{56}$$\displaystyle = \frac{1}{7}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} \cap Y )$$\displaystyle = \frac{1}{24} + \frac{1}{56}$$\displaystyle = \frac{10}{168}$$\displaystyle = \frac{5}{12}$ 따라서 $p$$= 12$, $q$$= 5$이므로 $p + q$$= 17$