동아리 가입 학생의 조건부확률

남학생인 사건을 $A$, 수학동아리에 가입한 사건을 $B$라 하자 $\displaystyle P ( B | A ) = \frac{3}{5}$ 에서 $\displaystyle \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{3}{5}$ $\displaystyle \therefore P ( A \cap B ) = \frac{3}{5} P ( A )$ $\displaystyle P ( B | A ^{C} ) = \frac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle \frac{P ( A ^{C} \cap B )}{P ( A ^{C} )} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \therefore P ( A ^{C} \cap B ) = \frac{1}{2} P ( A ^{C} ) = \frac{1}{2} \left\{ 1 - P ( A ) \right\}$ 이때, $\displaystyle p _{1} = P ( A | B ) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ $\displaystyle p _{2} = P ( A ^{C} | B ) = \frac{P ( A ^{C} \cap B )}{P ( B )}$ 이고 $p _{1} = 2 p _{2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{2 P ( A ^{C} \cap B )}{P ( B )}$ $\displaystyle \frac{3}{5} P ( A ) = 1 - P ( A )$ $\displaystyle \therefore P ( A ) = \frac{5}{8}$ 따라서, 구하는 남학생의 수는 $\displaystyle 320 \times \frac{5}{8} = 200 ( \text{명} )$