확률과 통계조건부확률수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

독립사건 합사건 범위

문제

두 사건 A,BA , B가 서로 독립이고, P(A∩B)=14\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} A \cap B ) = \frac{1}{4}일 때, P(A∪B)=k−14\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} A \cup B ) = k - \frac{1}{4}이 되도록 하는 실수 kk의 최솟값은? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②58\displaystyle \frac{5}{8}③34\displaystyle \frac{3}{4}④78\displaystyle \frac{7}{8}⑤11

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⑤

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해설

[출제의도]독립사건의 확률 계산하기 P(A)=a\mathrm{P} ( \mathit{A} ) = a, P(B)=b\mathrm{P} \mathit{(} B ) = b라 하면 AA와 BB가 서로 독립이므로 P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=ab\mathrm{P} \mathit{(} A \cap B ) = \mathrm{P} \mathit{(} A ) \cdot \mathrm{P} ( \mathit{B} ) = a b이다. 따라서, ab=14\displaystyle a b = \frac{1}{4} (0<a≤1,0<b≤1)( 0 < a \leq 1 , 0 < b \leq 1 )이다. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\mathrm{P} \mathit{(} A \cup B ) = \mathrm{P} \mathit{(} A ) + \mathrm{P} \mathit{(} B ) - \mathrm{P} \mathit{(} A \cap B )이므로 a+b=ka + b = k이다.

∴\therefore 1≤k≤54\displaystyle 1 \leq k \leq \frac{5}{4}

태그

#독립사건#확률의 범위

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