독립·배반 조건부확률

조건 (다)에 의해서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = {\mathrm{P}} ( A ) \cdot {\mathrm{P}} ( B ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cup B ) = {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} ( B ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ 조건 (가), (나)에 맞게 벤다이어그램을 그리면 다음과 같다.

조건 (가)에 의해서 $( A \cup B ) ^{C}$$= C - ( A \cup B )$$\displaystyle = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$이고 조건 (나)에 의해서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cap C ) + {\mathrm{P}} ( B \cap C ) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$이므로 ${\mathrm{P}} ( A | C ) + {\mathrm{P}} ( B | C )$$\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap C ) + {\mathrm{P}} ( B \cap C )}{{\mathrm{P}} ( C )}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$