미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 무리식 극한

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a3=5a _{3} = 5, a6=11a _{6} = 11일 때, lim⁡n→∞n(an+1−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( \sqrt{a _{n + 1}} - \sqrt{a _{n}} \right)}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤22

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다. 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공차를 dd라 하자. a3=a+2d=5a _{3} = a + 2 d = 5, a6=a+5d=11a _{6} = a + 5 d = 11이므로 a=1a = 1, d=2d = 2, an=2n−1a _{n} = 2 n - 1 lim⁡n→∞n(an+1−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( \sqrt{a _{n + 1}} - \sqrt{a _{n}} \right)}=lim⁡n→∞n(2n+1−2n−1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( \sqrt{2 n + 1} - \sqrt{2 n - 1} \right)} =lim⁡n→∞2n2n+1+2n−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}}=lim⁡n→∞22+1n+2−1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{2 - \frac{1}{n}}}} =22\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}

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