등차수열 집합 개수 극한

집합 {$k | 1 \leq k \leq 2 n , k$는 자연수}의 세 원소 $a , b , c$ 중 두 수만 결정되면 남은 수는 자동적으로 결정된다. $b = 2$인 경우 $a$를 정하는 방법은 1가지 $b = 3$인 경우 $a$를 정하는 방법은 2가지 …… $b = n$일 경우 $a$를 정하는 방법은 $( n - 1 )$가지 $b = n + 1$일 경우 $c$를 정하는 방법은 $( n - 1 )$가지 $b = n + 2$일 경우 $c$를 정하는 방법은 $( n - 2 )$가지 …… $b = 2 n - 1$일 경우 $c$를 정하는 방법은 1가지 $\therefore$ 등차수열을 이루는 집합 $\left\{ a , b , c \right\}$의 개수는 $T _{n} = n ( n - 1 )$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{T _{n}}{n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ( n - 1 )}{n ^{2}} = 1$ [다른풀이] $2 b = a + c$이고, $a < b < c$이므로 $a$와 $c$를 결정하면 $b$는 자동적으로 결정된다. $a + c$는 짝수이므로 $( a , c )$를 만들 수 있는 경우는 짝수 $n$개 중 2개를 취하는 경우 $\displaystyle {}_{n} C _{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 홀수 $n$개 중 2개를 취하는 경우 $\displaystyle {}_{n} C _{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ $\therefore$ 등차수열을 이루는 집합 {$a , b , c$}의 개수는 $T _{n} = n ( n - 1 )$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{T _{n}}{n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ( n - 1 )}{n ^{2}} = 1$