등차수열 합의 근호 극한

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수열의 극한 문제 해결하기 $a _{1} = 1$, $a _{2} + a _{4} = \left( a _{1} + d \right) + \left( a _{1} + 3 d \right) = 2 a _{1} + 4 d = 18$ 에서 $d = 4$이다. $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ 2 a _{1} + \left( n - 1 \right) d \right\}}{2} = \frac{n \left\{ 2 + 4 \left( n - 1 \right) \right\}}{2} = 2 n ^{2} - n$이고, $S _{n + 1} = 2 \left( n + 1 \right) ^{2} - \left( n + 1 \right) = 2 n ^{2} + 3 n + 1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{S _{n + 1}} - \sqrt{S _{n}} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{2 n ^{2} + 3 n + 1} - \sqrt{2 n ^{2} - n} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \sqrt{2 n ^{2} + 3 n + 1} - \sqrt{2 n ^{2} - n} \right) \left( \sqrt{2 n ^{2} + 3 n + 1} + \sqrt{2 n ^{2} - n} \right)}{\sqrt{2 n ^{2} + 3 n + 1} + \sqrt{2 n ^{2} - n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 n + 1}{\sqrt{2 n ^{2} + 3 n + 1} + \sqrt{2 n ^{2} - n}}}$$\displaystyle = \frac{4}{2 \sqrt{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ [다른 풀이] 공차 $d$를 다음과 같이 구할 수도 있다. $2 a _{3} = a _{2} + a _{4} = 18$이므로 $a _{3} = 9$이다. $a _{3} = a _{1} + 2 d = 1 + 2 d = 9$ $d = 4$ 이다.