중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등변사다리꼴 넓이 빈칸

문제

다음은 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 등변사다리꼴의 넓이를 구하는 과정이다. 그림과 같이 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}는 AD‾∥BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \parallel \overline{BC}, AC‾⊥BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{BD} 인 등변사다리꼴이다.

꼭짓점 D\mathrm{D}에서 직선 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하고, 점 D\mathrm{D}를 지나고 대각선 AC\mathrm{AC}와 평행하게 그은 직선이 직선 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 E\mathrm{E}라 하자. 사각형 ACED\mathrm{ACED}는 평행사변형이므로 AD‾+BC‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BC} =□(가)\square {( \text{가} )} … ㉠ ∠BDE=90∘\mathrm{\angle} BDE = 90 ^\circ이고 BD‾=DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \overline{DE}이므로 삼각형 DBE\mathrm{DBE}는 직각이등변삼각형이다. ∴BE‾=\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{BE}} =□(나)\square {( \text{나} )} … ㉡ ㉠, ㉡에 의해서 □ABCD=12(AD‾+BC‾)×DH‾=\displaystyle \mathrm{\square} ABCD = \frac{1}{2} \left( \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BC} \right) \times \overline{DH} =□(다)\square {( \text{다} )}

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BE}}2DC‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{DC}DC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} ^{2}
②BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BE}}2DH‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{DH}DC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} ^{2}
③BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BE}}2DH‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{DH}DH‾2\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} ^{2}
④2AC‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{AC}2DH‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{DH}DH‾2\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} ^{2}
⑤2AC‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{AC}2DC‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{DC}DC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} ^{2}
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③

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해설

[출제의도] 등변사다리꼴의 성질 증명하기 사각형 ACED\mathrm{ACED}는 평행사변형이므로 AD‾+BC‾=CE‾+BC‾=□BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BC} = \overline{CE} + \overline{BC} = \square {\overline{BE}} … ㉠ △DBE\mathrm{\triangle} DBE가 직각이등변삼각형이므로 BH‾=DH‾=HE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \overline{DH} = \overline{HE} ∴BE‾=\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{BE}} = □2DH‾\displaystyle \square {\mathrm{2} \overline{DH}} … ㉡ ㉠, ㉡에 의해서 □ABCD=12(AD‾+BC‾)×DH‾=\displaystyle \mathrm{\square} ABCD = \frac{1}{2} \left( \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BC} \right) \times \overline{DH} =□DH‾2\displaystyle \square {\mathrm{\overline{DH}} ^{2}}

태그

#평행사변형#빈칸 추론

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