등비수열의 수렴 조건

$\displaystyle a _{n} = \left( \frac{k ^{2} + 9}{10 k} \right) ^{n} + \left( \frac{3}{k} \right) ^{n}$에서 $k$가 자연수이므로 $\displaystyle \frac{k ^{2} + 9}{10 k} > 0$, $\displaystyle \frac{3}{k} > 0$ 두 등비수열 $\displaystyle \left\{ \left( \frac{k ^{2} + 9}{10 k} \right) ^{n} \right\}$, $\displaystyle \left\{ \left( \frac{3}{k} \right) ^{n} \right\}$ 중 어느 한 수열이 발산하면 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 수렴하지 않으므로 두 등비수열 $\displaystyle \left\{ \left( \frac{k ^{2} + 9}{10 k} \right) ^{n} \right\}$, $\displaystyle \left\{ \left( \frac{3}{k} \right) ^{n} \right\}$이 모두 수렴하여야 한다. $\displaystyle \frac{k ^{2} + 9}{10 k} \leq 1$에서 $k ^{2} - 10 k + 9 \leq 0$, $1 \leq k \leq 9$ $\displaystyle \frac{3}{k} \leq 1$에서 $k \geq 3$이므로 $3 \leq k \leq 9$ 따라서 구하는 자연수 $k$의 개수는 $7$