등비수열의 극한

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a _{n} = a \times r ^{n - 1}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 ^{n} \times a _{n} - 1}{3 \times 2 ^{n + 1}}} = 1$에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 ^{n} \times a _{n} - 1}{3 \times 2 ^{n + 1}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a}{r} \times \left( 4 r \right) ^{n} - 1}{6 \times 2 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a}{r} \times \left( 2 r \right) ^{n} - \frac{1}{2 ^{n}}}{6}}$ (ⅰ) $\displaystyle \left| r \right| < \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 r \right) ^{n}} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a}{r} \times \left( 2 r \right) ^{n} - \frac{1}{2 ^{n}}}{6}} = 0$ 이므로 조건을 만족하지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle r = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 r \right) ^{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {1 ^{n}} = 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a}{r} \times \left( 2 r \right) ^{n} - \frac{1}{2 ^{n}}}{6}} = \frac{2 a - 0}{6} = \frac{a}{3}$ $\displaystyle \frac{a}{3} = 1$에서 $a = 3$ (ⅲ) $r \leq - 2$일 때 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{\frac{a}{r} \times \left( 2 r \right) ^{n} - \frac{1}{2 ^{n}}}{6} \right\}$은 진동한다. (ⅳ) $r > 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left| \frac{\frac{a}{r} \times \left( 2 r \right) ^{n} - \frac{1}{2 ^{n}}}{6} \right|} = \infty$ 이상에서 $a = 3$, $\displaystyle r = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a _{n} = 3 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle a _{1} + a _{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$