미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열의 극한

문제

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞an+13n+22n−1=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} + 1}{3 ^{n} + 2 ^{2 n - 1}} = 3일 때, a2a _{2}의 값은? [3점] ①1616②1818③2020④2222⑤2424

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열이 포함된 식의 극한값을 이용하여 수열의 항의 값을 구할 수 있는가? 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr라 하면 an=arn−1a _{n} = ar ^{n-1}이다. 이때, lim⁡n→∞an+13n+22n−1=lim⁡n→∞a×rn−14n+(14)n(34)n+12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} {\frac{a _{n} + 1}{3 ^{n} + 2 ^{2 n - 1}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{} \frac{a \times \frac{r ^{n-1}}{4 ^{n}} + \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}}{\left( \frac{3}{4} \right) ^{n} + \frac{1}{2}}} 이고 극한값이 존재하므로 r=4r = 4 따라서, lim⁡n→∞an+13n+22n−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} {\frac{a _{n} + 1}{3 ^{n} + 2 ^{2 n - 1}}}=lim⁡n→∞a4+(14)n(34)n+12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} {\frac{\frac{a}{4} + \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}}{\left( \frac{3}{4} \right) ^{n} + \frac{1}{2}}}=a4+00+12\displaystyle = \frac{\frac{a}{4} + 0}{0 + \frac{1}{2}}=a2=3\displaystyle = \frac{a}{2} = 3 에서 a=6a = 6이므로 a2=6×4=24a _{2} = 6 \times 4 = 24

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