등비수열과 극한값

[출제의도] 등비수열이 포함된 수열의 극한값을 구한다. $a _{n+1} = a _{1} a _{n}$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $a _{1}$, 공비가 $a _{1}$인 등비수열이다. 그러므로 $a _{n} = {a _{1}} ^{n}$($a _{1} > 0$) (ⅰ) $0 < a _{1} < 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 a _{n+3} - 5}{2 a _{n} + 1}}$$= \mathit{-} 5$$\ne 12$ (ⅱ) $a _{1} = 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 a _{n+3} - 5}{2 a _{n} + 1}}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{2}{3}$$\ne 12$ (ⅲ) $a _{1} > 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{a _{n}}} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 a _{n+3} - 5}{2 a _{n} + 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{\frac{3 a _{1} ^{3} - \frac{5}{a _{n}}}{2 + \frac{1}{a _{n}}}}}$$\displaystyle = \frac{3}{2} a _{1} ^{3}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\displaystyle \frac{3}{2} a _{1} ^{3} = 12$, $a _{1} ^{3} = 8$ 따라서 $a _{1} = 2$