미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

등비수열 수렴 조건

문제

무한등비수열 {(r2−r6)n}\displaystyle \left\{ \left( \frac{r ^{2} - r}{6} \right) ^{n} \right\}이 수렴하도록 하는 정수 rr의 개수는? [2점] ①44②55③66④77⑤88

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③

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해설

무한등비수열 an=arn−1a _{n} = ar ^{n-1}의 수렴조건은 a=0or−1<r≤1a = 0 or - 1 < r \leq 1이다. 주어진 수열은 초항과 공비가 공히 r2−r6\displaystyle \frac{r ^{2} - r}{6}이므로 주어진 수열의 수렴 범위는 −1<r2−r6≤1\displaystyle - 1 < \frac{r ^{2} - r}{6} \leq 1→r2−r+6>0orr2−r≤6\rightarrow r ^{2} - r + 6 > 0 or r ^{2} - r \leq 6을 만족시킨다. 이 때, r2−r+6r ^{2} - r + 6의 판별식을 조사하면 D=b2−4ac=(1)2−4⋅1⋅6=−23<0D = b ^{2} - 4 ac = ( 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = - 23 < 0 이므로 r2−r+6r ^{2} - r + 6은 모든 실수 rr에 대해 항상 00보다 크다. ∴r2−r−6≤0→(r+2)(r−3)≤0\therefore r ^{2} - r - 6 \leq 0 \rightarrow \left( r + 2 ) ( r - 3 ) \leq 0 \right. ∴−2≤r≤3\therefore - 2 \leq r \leq 3→\rightarrow실수 rr은 총 3−(−2)+1=63 - ( - 2 ) + 1 = 6개 존재한다.

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#등비수열의 수렴

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