미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 수렴 조건

문제

무한수열 {(x+2)(x2−4x+3)n−1}\left\{ \left( x + 2 \right) \left( x ^{2} - 4 x + 3 \right) ^{n - 1} \right\}이 수렴하도록 하는 모든 정수 xx의 합을 구하시오. [3점]

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22

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해설

[출제의도] 무한수열의 수렴 이해하기 무한수열 {(x+2)(x2−4x+3)n−1}\left\{ \left( x + 2 \right) \left( x ^{2} - 4 x + 3 \right) ^{n - 1} \right\}이 수렴하기 위해서는 (ⅰ) 첫째항이 x+2=0x + 2 = 0일 때, x=−2x = - 2 (ⅱ) 공비가 r=x2−4x+3r = x ^{2} - 4 x + 3이므로 −1<x2−4x+3≤1- 1 < x ^{2} - 4 x + 3 \leq 1에서 정수 xx는 1,31 , 3이다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 정수 xx는 −2,1,3- 2 , 1 , 3이므로 모든 정수 xx의 합은 22이다.

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#등비수열의 수렴#공비 조건

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