미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 꼴의 극한

문제

[13~14] $a > 3$ 인 상수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $y = a ^{x - 1}$ 과 $y = 3 ^{x}$ 이 점 $P$ 에서 만난다. 점 $P$ 의 $x$ 좌표를 $k$ 라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

$\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n+k}}{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n+1} + 1}$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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해설

점 $P$ 의 $x$ 좌표가 $k$ 이고, 점 $P$ 가 곡선 $y = a ^{x - 1}$ 위의 점이므로 $P ( k , a ^{k - 1} )$ 또, 점 $P$ 가 곡선 $y = 3 ^{x}$ 위의 점이므로 $P ( k , 3 ^{k} )$ $\therefore 3 ^{k} = a ^{k - 1}$ 이때, $\displaystyle \frac{a}{3} > 1$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n + k}}{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n + 1} + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n + k - ( n + 1 )}}{1 + \frac{1}{\left( \frac{a}{3} \right) ^{n + 1}}}}} = \left( \frac{a}{3} \right) ^{k - 1} = \frac{3 ^{k}}{3 ^{k - 1}} = 3$

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