미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 합과 항의 비

문제

공비가 rr인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Snan=1514\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} {\frac{S _{n}}{a _{n}}} = \frac{15}{14}이다. rr의 값을 구하시오. [3점]

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1515

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해설

[출제의도] 무한등비수열의 극한의 성질 이해하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항 aa, 공비 rr 이라면 lim⁡n→∞Snan=lim⁡n→∞a(1−rn)arn−1(1−r)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a ( 1 - r ^{n} )}{ar ^{n-1} ( 1 - r )}} =lim⁡n→∞11−r⋅1−rnrn−1=−r1−r=1514\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 - r}} \cdot \frac{1 - r ^{n}}{r ^{n-1}} = - \frac{r}{1 - r} = \frac{15}{14} ∴r=15\therefore r = 15

태그

#등비수열의 합#수열의 극한

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