공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

덕트 압력 관계식

문제

후드로 흡입된 오염된 공기는 덕트를 통해 이동된다.

덕트 안의 공기의 밀도를 $r$ , 공기의 속력을 $v$ , 압력을 $P$ 라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다고 한다. $\displaystyle P = \frac{rv ^{2}}{2 g}$ (단, $g$ 는 중력가속도이다.) 집 $A$ 에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 $c$ 이고 압력은 $P _{A}$ , 집 $B$ 에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 $2 c$ 이고 압력은 $P _{B}$ 이다. 집 $A$ 와 집 $B$ 에 있는 덕트 안의 공기의 속력의 비가 $3 : 5$ 일 때, $P _{B} = kP _{A}$ 이다. 상수 $k$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{10}{3}$ ② $\displaystyle \frac{35}{9}$ ③ $\displaystyle \frac{40}{9}$ ④ $5$ ⑤ $\displaystyle \frac{50}{9}$

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⑤

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[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 집 $A$ 와 집 $B$ 에 있는 덕트 안의 공기의 속력의 비가 $3 : 5$ 이므로 실수 $t$ 에 대하여 집 $A$ 에 있는 덕트 안의 공기의 속력을 $3 t$ , 집 $B$ 에 있는 덕트 안의 공기의 속력을 $5 t$ 라 하면 $\displaystyle P _{A} = \frac{c \times ( 3 t ) ^{2}}{2 g} = \frac{9 ct ^{2}}{2 g}$ , $\displaystyle P _{B} = \frac{2 c \times ( 5 t ) ^{2}}{2 g}$ $\displaystyle = \frac{25 ct ^{2}}{g}$ 이므로 $\displaystyle \frac{25 ct ^{2}}{g} = k \times \frac{9 ct ^{2}}{2 g}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{50}{9}$

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