닮음과 넓이 비

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 도형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다.

두 삼각형 $\mathrm{EDG}$, $\mathrm{EBC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} \parallel {\overline{BC}}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{EDG}$, $\mathrm{EBC}$는 서로 닮은 도형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} : \overline{DB}$$= 1 : 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} : \overline{BE}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{DG}} : \overline{BC}$$= 1 : 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$= 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} : \overline{BE}$$= 4 : 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ 두 삼각형 $\mathrm{EDG}$와 $\mathrm{EBC}$의 닮음비가 $1 : 5$이므로 넓이의 비는 $1 ^{2} : 5 ^{2}$$= 1 : 25$이고 $\mathrm{\triangle} EBC$$= 25 \times \mathrm{\triangle} EDG$ ㉠에서 $\mathrm{\triangle} BCD$$\displaystyle = \frac{4}{5} \mathrm{\times} \triangle EBC$$\displaystyle = \frac{4}{5} \times \left( 25 \times \mathrm{\triangle} EDG \right)$$= 20 \times \mathrm{\triangle} EDG$ 두 삼각형 $\mathrm{AFD}$, $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FD}} \parallel \overline{BC}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{AFD}$, $\mathrm{ABC}$는 서로 닮은 도형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{FD}} : \overline{BC}$$= 2 : 5$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : {\overline{AC}}$$= 2 : 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} : {\overline{AC}}$$= 3 : 5$ $\cdots \cdots$ ㉡ 두 삼각형 $\mathrm{AFD}$와 $\mathrm{ABC}$의 닮음비가 $2 : 5$이므로 넓이의 비는 $2 ^{2} : 5 ^{2}$$= 4 : 25$이고 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{25}{4} \mathrm{\times} \triangle AFD$$\displaystyle = \frac{75}{4}$이다. ㉡에서 $\mathrm{\triangle} BCD$$\displaystyle = \frac{3}{5} \times \mathrm{\triangle} A BC$$\displaystyle = \frac{3}{5} \times \frac{75}{4}$$\displaystyle = \frac{45}{4}$ 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이는 $\mathrm{20} \times \triangle EDG$$=$$\displaystyle \frac{45}{4}$이므로 $\mathrm{\triangle} EDG$$\displaystyle = \frac{9}{16}$ $p = 16$, $q = 9$ 따라서 $p + q$$= 16 + 9$$= 25$