다항식에서 x^22의 계수

$( x + 1 ) ^{24}$에서 $x ^{22}$항의 계수는 ${}_{24} \mathrm{C} _{22}$$= _{24} \mathrm{C} _{2}$ $x ( x + 1 ) ^{23}$에서 $x ^{22}$항의 계수는 ${}_{23} \mathrm{C} _{21}$$= _{23} \mathrm{C} _{2}$ $x ^{2} ( x + 1 ) ^{22}$에서 $x ^{22}$항의 계수는 ${}_{22} \mathrm{C} _{20}$$= _{22} \mathrm{C} _{2}$ ⋮ $x ^{22} ( x + 1 ) ^{2}$에서 $x ^{22}$항의 계수는 ${}_{2} \mathrm{C} _{0}$$= _{2} \mathrm{C} _{2}$ 따라서 구하는 계수는 ${}_{2} \mathrm{C} _{2} + _{3} \mathrm{C} _{2} + _{4} C _{2} + \cdots + _{24} \mathrm{C} _{2}$ $= _{3} \mathrm{C} _{3} + _{3} \mathrm{C} _{2} + _{4} C _{2} + \cdots + _{24} \mathrm{C} _{2}$ $= _{4} \mathrm{C} _{3} + _{4} \mathrm{C} _{2} + _{5} C _{2} + \cdots + _{24} \mathrm{C} _{2}$ $= _{5} \mathrm{C} _{3} + _{5} \mathrm{C} _{2} + _{6} C _{2} + \cdots + _{24} \mathrm{C} _{2}$ ⋮ $= \mathrm{_{24}} C _{3} + _{24} C _{2}$ $= \mathrm{_{25}} C _{3}$ $\displaystyle = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2}$ $= 2300$ [다른 풀이] 위 풀이에서 ${}_{2} \mathrm{C} _{2} + _{3} \mathrm{C} _{2} + _{4} C _{2} + \cdots + _{24} \mathrm{C} _{2}$ $=$$\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{24} \frac{n ( n - 1 )}{2}$ $=$$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{23} \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $\displaystyle = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{6}$ $= 2300$ [다른 풀이] 주어진 다항식은 첫째항이 $( 1 + x ) ^{24}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{x}{1 + x}$인 등비수열의 첫째항부터 제 $23$항까지의 합이다. 따라서 주어진 다항식은 $\displaystyle \frac{( 1 + x ) ^{24} \left\{ 1 - \left( \frac{x}{1 + x} \right) ^{23} \right\}}{1 - \frac{x}{1 + x}}$$= ( 1 + x ) ^{25} - ( 1 + x ) x ^{23}$ 따라서 구하는 $x ^{22}$의 계수는 $( 1 + x ) ^{25}$의 $x ^{22}$의 계수와 같다. 따라서 구하는 계수는 $\mathrm{_{25}} C _{3}$$\displaystyle = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2}$$= 2300$