다항함수 결정과 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle xf \left( x \right) = \left( - \frac{1}{2} x + 3 \right) g \left( x \right) - x ^{3} + 2 x ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에 $x = 0$을 대입하면 $g ( 0 ) = 0$ ㉠에 $x = 2$를 대입하면 $f ( 2 ) = g ( 2 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{g ( x - 1 )}{f ( x ) - g ( x )}$의 값이 $\mathrm{0}$이 아닌 실수이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} = f ( 2 ) - g ( 2 ) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} g ( x - 1 ) = g ( 1 ) = 0$ $g ( 0 ) = g ( 1 ) = 0$이므로 함수 $g ( x )$는 상수함수이거나 차수가 $\mathrm{2}$ 이상이다. 함수 $g ( x )$가 상수함수이면 $g ( x ) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{g ( x )}$의 값이 존재하지 않는다. 그러므로 함수 $g ( x )$의 차수는 $\mathrm{2}$ 이상이다. 또한 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{g ( x )}$의 값이 $\mathrm{0}$이 아닌 실수이므로 함수 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$의 차수는 함수 $g ( x )$의 차수와 같다. 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 차수를 각각 $n$, $2 n$이라 하자. (ⅰ) $n = 1$일 때 함수 $g ( x )$의 차수가 $\mathrm{2}$이고 $g ( 0 ) = g ( 1 ) = 0$이므로 $g ( x ) = a x ( x - 1 ) ( a \neq 0 )$ ㉠에서 양변의 $x ^{3}$의 계수가 같아야 하므로 $\displaystyle 0 = - \frac{1}{2} \times a - 1$, $a = - 2$이고 $g \left( x \right) = - 2 x ^{2} + 2 x$ 또한 ㉠에서 $x f ( x )$$\displaystyle = \left( - \frac{1}{2} x + 3 \right) \times \left( - 2 x ^{2} + 2 x \right) - x ^{3} + 2 x ^{2}$ $= - 5 x ^{2} + 6 x$ 이므로 $f \left( x \right) = - 5 x + 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{g \left( x - 1 \right)}{f \left( x \right) - g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{- 2 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)}{\left( 2 x - 3 \right) \left( x - 2 \right)} = - 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{( - 5 x + 6 ) ^{2}}{- 2 x ^{2} + 2 x} = - \frac{25}{2}$ 그러므로 $\displaystyle k = - 2 \times \left( - \frac{25}{2} \right) = 25$ (ⅱ) $n \geq 2$일 때 ㉠의 좌변과 우변의 차수가 각각 $n + 1$, $2 n + 1$이고 $n + 1 \neq 2 n + 1$이므로 ㉠이 성립하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 $k$의 값은 $\mathrm{25}$